• Road Work - Survey, Design, Construction and Maintenance

  • Road Work - Survey and Design

  • Road Work - Construction

  • Road Work - Maintenance eg. reconstruction, overlay etc.

Copyright 2019 - Road Work :Survey, Construction and Maintenance

การปรับแก้โดยวิธีลีสท์สแควร์

                 ลีสท์สแควร์(Least Square)หรือวิธีกำลังสองน้อยที่สุดคือการคำนวณหาความแตกต่างระหว่างค่าที่วัดได้กับค่าที่คำนวณได้จากทฤษฏี โดยข้อมูลต้องมีความสัมพันธ์กันในรูปแบบของสมการใดสมการหนึ่ง

                         เพื่อความสะดวกในการศึกษาวิธีการหาคำตอบของ Overdetermined System โดยวิธีลีสท์สแควร์ จะกำหนดสัญลักษณ์มาตรฐานดังนี้

                 image001 แทนตัวไม่รู้ค่า image003 มีค่าตั้งแต่image005

                        image007 แทนค่าที่ได้จากการวัด(Observation) มีค่าตั้งแต่ image009

                          image011หมายถึงค่าที่คำนวณได้จากสมการเมื่อรู้ค่า image013 แล้วimage015 อาจเรียกว่า Adjusted Observation

                         image017แทนค่า Residual ที่ได้จากimage019

                      พิจารณาจากผลรวมของ image021 ที่ดีที่สุดคือค่าที่น้อยที่สุดใกล้ 0 แต่อาจจะเป็น + หรือ - หมายความว่าคำตอบไม่เป็น Unique 

               พิจารณาจากผลรวมค่าสัมบูรณ์ของ image023 ที่ดีที่สุดคือค่าที่น้อยที่สุดใกล้ 0 ที่เป็น + แต่มีปัญหาในการหาอนุพันธ์เนื่องจากอนุพันธ์ของค่าสัมบูรณ์เป็นฟังก์ชันที่ไม่ต่อเนื่องที่ตำแหน่งที่น้อยที่สุด

                      พิจารณาจากผลรวมกำลังสองของ image025 จะเป็นทางเลือกที่เหมาะสมเนื่องจากฟังก์ชันimage027 เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้และมีคำตอบเดียว 

                      วิธีการคำนวณปรับแก้แบบลีสท์สแควร์

                       1. กำหนดสมการที่ใช้ จำนวนตัวไม่รู้ค่า image029 จำนวนค่าที่วัดได้หรือค่าสังเกต (Observation,image008) และค่าที่คำนวณได้เมื่อรู้ image002(Adjusted Observation,image012

                        2. กำหนดสมการเงื่อนไข คือ image031

                        3. คำนวณหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน image028 เทียบกับตัวไม่รู้ค่าแต่ละตัว และกำหนดให้ค่าอนุพันธ์ของฟังก์ชันเท่ากับ 0 (เงื่อนไขของลีสท์สแควร์คือกำลังผลรวมของเศษเหลือยกกำลังสองที่น้อยที่สุดคือ 0) จะได้ Normal Equation

                        4. แก้สมการ Normal Equation จะได้คำตอบ

                     1. การปรับแก้ลีสท์สแควร์ของระบบสมการเชิงเส้นที่เป็น Overdetermined

                        ตัวอย่างการปรับแก้โครงข่ายหมุดหลักฐานทางดิ่ง

                                   ในการขยายโครงข่ายหมุดหลักฐานทางดิ่ง(หมุดระดับ) จากจุด A ซึ่งเป็นหมุดที่รู้ค่าระดับ(Benchmark, BM) เท่ากับ 81.130 เมตร ไปยังจุด B, C และ D ซึ่งเป็นหมุดหลักฐานทางดิ่งที่สร้างใหม่ โดยวิธี Differential Levelling การรังวัดและผลการรังวัดเป็นไปตามตารางและรูปสเก็ตซ์ ค่าระดับของหมุด B, C และ D สามารถคำนวณได้โดยวิธีลีสท์สแควร์

 จาก

(จุดต่ำกว่า)

 ไป

(จุดสูงกว่า)

 ค่าต่างระดับ(m)

(ΣBS - ΣFS)

 ระยะทาง

(km)

 

 

 

image034

B

A

 11.973

 3.98

D

 10.940

 3.17

D

 22.932

 4.20

B

 21.040

 6.74

D

 31.891

 2.95

A

 8.983

 3.36

          (1) ปัญหานี้มี 1)จำนวนตัวไม่รู้ค่าอยู่ 3 ตัวคือ ค่าระดับของจุด B, C และ D กำหนดสัญลักษณ์เป็น image035 ตามลำดับ 2)จำนวนค่าสังเกตมีด้วยกันทั้งสิ้น 6 ค่าคือค่าต่างระดับ BA, DB, DA, BC, DC และ AC กำหนดสัญลักษณ์เป็น image037 จะได้ว่า

image039

image041

image043

image045

image047

image049

และ 3)สมการที่จะใช้คือ image051และค่าที่คำนวณได้จากตัวไม่รู้ค่า image030 กำหนดสัญลักษณ์เป็น image053  โดยแต่ละค่าหาได้ดังนี้                  

image055

image057

image059

image061

image063

image065

โดยคำนวณมาจากสมการ

                        image067

          (2) สมการเงื่อนไข image068 สามารถเขียนได้เป็น

                   image070

image071            

                        2. การปรับแก้ลีสท์สแควร์ของระบบสมการเชิงเส้นที่เป็น Overdetermined ในรูปเมตริกซ์

                                      เพื่อความสะดวกในการคำนวณหาคำตอบของ Overdetermined System ในกรณีที่ระบบสมการมีขนาดใหญ่ จำเป็นต้องนำเมตริกซ์เข้ามาช่วย โดยกำหนดสัญลักษณ์ดังนี้ 1)คอลัมน์เวคเตอร์ image072มีสมาชิกเป็นตัวไม่รู้ค่าในระบบ 2)คอลัมน์เวคเตอร์ image074มีสมาชิกในแต่ละแถวเป็นค่าสังเกตหรือค่ารังวัดแต่ละค่า 3)คอลัมน์เวคเตอร์ image076มีสมาชิกในแต่ละแถวเป็นค่าคงที่ในแต่ละสมการ และ 4)คอลัมน์เวคเตอร์ image078 มีสมาชิกในแต่ละแถวเป็นค่า Residual(image020) แต่ละตัว  

                                    จากตัวอย่างการขยายโครงข่ายระดับ สมการเงื่อนไข image032 สามารถเขียนในรูปเมตริกซ์เป็น

                                                          image080 

image082

image084

image086

image088

image090

และกำหนดสัญลักษณ์ในรูปเมตริกซ์เป็น

image092

                                                 image094

            หรือ

                          image096

        กำหนดให้  image098 จะได้สมการเงื่อนไขในรูปเมตริกซ์เป็น

image100

                ฟังก์ชัน ???? เขียนได้เป็น

                               image102

image104

image106

image108

image110  เป็นเมตริกซ์ขนาด 1x1 มีค่าเท่ากับ Transpose ของมันคือ image112 ซึ่งก็คือ image114 ดังนั้นฟังชันก์ image116 จะเป็น

image118

กำหนดให้ image120 และ image122

          จะได้                           image124

หาอนุพันธ์ของ Φ เทียบกับ X จะไดัว่า

image126

Normal Equation ในรูปเมตริกซ์จะเป็น

image128

               หรือ                          image130

                     หรือ                                image132

              และคำนวณได้โดย                image134

                     หรือ                                  image137

            

ข้อความ

พัฒนาโดย

นายปรีชา สมผุด

18/5 ม.1 ต. แหลมบัว

อ. นครชัยศรี

จ. นครปฐม  73120

http://www.facebook.com/RoadWorkAndGeotechnic