• Road Work - Survey, Design, Construction and Maintenance

  • Road Work - Survey and Design

  • Road Work - Construction

  • Road Work - Maintenance eg. reconstruction, overlay etc.

Copyright 2019 - Road Work :Survey, Construction and Maintenance

การคำนวณหาพื้นที่รูปตัดของถนน

               ในการคำนวณพื้นที่ภาคตัดขวางที่เกิดจากดินเดิมตัดกับรูปตัด (Typical cross Section) มีแนวคิดดังนี้


                                         

                        จากรูป  จุด  a, b, c, d  และ  แต่ละจุดจะมีพิกัด  (X1, Y1), (X2, Y2), (X3, Y3), (X4, Y4และ  (X5, Y5)   ในระบบพิกัดฉากที่มีแกนนอนเป็นแกน  X และแกนตั้งเป็นแกน  และต่อกันเป็นรูปปิด  จะสามารถหาพื้นที่ของรูปปิด  abcdea   ได้ดังนี้

                        พิจารณาจากรูปปิด  abcdea

                     1.  สามารถแบ่งรูปปิดออกเป็น  ส่วน  คือส่วนที่ประกอบด้วยด้าน  ab, bc  และ  cd  กับส่วนที่ประกอบด้วยด้าน ae  และ  ed  และจะถือได้ว่าแต่ละส่วนจะเป็นส่วนของโค้งในระบบพิกัดฉาก  XY

                      2แต่ละส่วนมีพื้นที่ใต้โค้ง  ดังนี้

 ส่วน  a à b à c à d  มีพื้นที่ใต้โค้ง  คือ  พื้นที่รูปหลายเหลี่ยม  AabcdD  ซึ่งประกอบด้วยพื้นที่รูปสี่เหลี่ยม  AabB, BbcC  และCcdD รวมกัน โดยมีพื้นที่ดังนี้

                        พื้นที่สี่เหลี่ยม  AabB       =(X2-X1)Y1+½(Y2-Y1)(X2-X1)

                              “              BbcC       =(X3-X2)Y2+½(Y3-Y2)(X3-X2)

                              “              CcdD       =(X4-X3)Y3+½(Y4-Y3)(X4-X3)

               พื้นที่รูปหลายเหลี่ยม  AabcdD  =  AabB + BbcC + CcdD

     =(X2-X1)Y1+½(Y2-Y1)(X2-X1+ (X3-X2)Y2+½(Y3-Y2)(X3-X2) +         

      (X4-X3)Y3+½(Y4-Y3)(X4-X3)                                       

               = ½{(X2-X1)(Y2+Y1(X3-X2)(Y3+Y2) + (X4-X3)(Y4+Y3)} …...….(1)

รูปสมการทั่วไป   พ.ท.ใต้โค้ง =½{(X2-X1)(Y2+Y1(X3-X2)(Y3+Y2) + ... + (Xn-Xn-1)(Yn+Yn-1)}

ส่วน a à e à d   มีพื้นที่ใต้โค้ง  คือ  พื้นที่รูปหลายเหลี่ยม  AaedD  ซึ่งประกอบด้วยพื้นที่สี่เหลี่ยม  AaeE  และ  EedD  โดยมีพื้นที่ดังนี้

            พื้นที่สี่เหลี่ยม  AaeE   =(X5-X1)Y1+½(Y5-Y1)(X5-X1)

                                   “      EedD  =(X4-X5)Y1+½(Y4-Y5)(X4-X5) 

            พื้นที่รูปหลายเหลี่ยม  AaedD  =  AaeE + EedD

                        = ½{(X5-X1)(Y5+Y1(X4-X5)(Y4+Y5)}…….(2)

ดังนั้น  พื้นที่รูปปิด  abcdea    =  พื้นที่รูปหลายเหลี่ยม AabcdD – พื้นที่รูปหลายเหลี่ยม AaedD

        (1) – (2) =½[{(X2-X1)(Y2+Y1(X3-X2)(Y3+Y2) + (X4-X3)(Y4+Y3)}-{(X5-X1)(Y5+Y1(X4-X5)(Y4+Y5)}]…….(3)

จากพื้นที่รูปปิด abcdea ในสมการ (3) สามารถจัดเรียงลำดับพิกัดฉากของแต่ละจุดในทิศทางทวนเข็มนาฬิกาจากจุดเริ่มต้นใด ๆ จนกลับมาถึงจุดเริ่มต้น  ดังนี้

                        cross

          จากนั้นอาศัยหลักการคูณไขว้  โดยเริ่มจากจุดแรก  ดังนี้

            คูณขึ้น  = X1Y5 + X5Y4 + X4Y3 + X3Y2 + X2Y1              ผลลัพธ์เป็นบวก  (+)

            คูณลง  = Y1X5 + Y5X4 + Y4X3 + Y3X2 + Y2X1               ผลลัพธ์เป็นลบ (-)

            นำผลคูณมารวมกัน  = คูณขึ้น + คูณลง  จะได้ผลลัพธ์ที่เรียกว่า  Double Area  เมื่อนำมาหารด้วย  2  จะได้เป็นพื้นที่รูปปิด  abcdea

การประยุกต์ใช้ในการคิดพื้นที่รูปตัดของงานทาง

                       x section area 0

จากรูปจะเห็นได้ว่ามีค่าพิกัด 2 ชุด คือที่เป็นค่าพิกัดของดินเดิมและค่าพิกัดของรูปตัด  และจากการตัดกันของรูปตัดกับดินเดิมทำให้เกิดรูปปิดดังรูป  และจุดเริ่มต้นค่าพิกัดเป็น  (0,0)  ในการคูณไขว้แต่ละรูปปิดสามารถสรุปพื้นที่ได้ว่าถ้าค่าพื้นที่รูปปิดมีค่าเป็นบวก (+)  แสดงว่าเป็นงานตัด  และถ้าค่าพื้นที่รูปปิดมีค่าเป็นลบ  (-)  แสดงว่าเป็นงานถม ทั้งนี้ค่าพิกัดของทุกจุดต้องเทียบกับจุดกำเนิด (0,0) ตามรูป

ข้อความ

พัฒนาโดย

นายปรีชา สมผุด

18/5 ม.1 ต. แหลมบัว

อ. นครชัยศรี

จ. นครปฐม  73120

http://www.facebook.com/RoadWorkAndGeotechnic