• Road Work - Survey, Design, Construction and Maintenance

  • Road Work - Survey and Design

  • Road Work - Construction

  • Road Work - Maintenance eg. reconstruction, overlay etc.

Copyright 2019 - Road Work :Survey, Construction and Maintenance

งานโค้งตั้ง(Vertical Curve)

            การสร้างถนนไม่สามารถกำหนดให้ระดับก่อสร้างอยู่ในระดับราบได้ตลอด เพราะภูมิประเทศเปลี่ยนแปลงไม่สม่ำเสมอ เพื่อให้การเปลี่ยนทิศทางของถนนในทิศทางขึ้นและลงราบเรียบ จึงต้องใช้โค้งพาราโบลาในการปรับระดับเนื่องจากเป็นโค้งที่มีการเปลี่ยนแปลงค่าอนุพันธ์อันดับที่หนึ่งเป็นเส้นตรงและมีค่าอนุพันธ์อันดับที่สองเป็นค่าคงที่ทำให้การเปลี่ยนแปลงระดับเส้นโค้งมีความราบเรียบ(smooth transition)

            คุณสมบัติของพาราโบลา

image001

-   จุดโฟกัสของพาราโบลาคือ(0,p)

-   directrix คือเส้นตรง y=-p

-   focal distance คือ |p| (ระยะจากจุดกำเนิดถึงจุดโฟกัสและจากจุดกำเนิดถึงเส้นdirectrix)

-   (x, y) แสดงถึงจุดต่างๆบนเส้นโค้ง

-   ระยะ d จากจุดใดๆ(x, y)ถึงจุดโฟกัส(0,p)เท่ากับระยะจากจุด(x, y)ถึงเส้นdirectrix

-   Vertex point คือจุดที่เปลี่ยนทิศทางของโค้ง (0,0)

 
จากการที่ระยะจากจุด image002ถึงimage003 เท่ากับ image004                          ได้ว่า  image005
ยกกำลังสองทั้งสองข้าง  image006
ได้ว่า  image007
ในการประยุกต์ใช้พาราโบลาคำนวณโค้งตั้งไม่จำเป็นต้องรู้ระยะโฟกัส  image008

การเลื่อนจุดVertexของพาราโบลา

            ในการเลื่อนจุดVertexของพาราโบลาจากจุด(0,0)ไปยังจุด(h, k) ค่าของ  image009 ในสมการจะเปลี่ยนเป็น image010 และค่า image011 ในสมการจะเปลี่ยนเป็น image012

จะได้  image013

image014

 

แทนค่า  image015

จะได้สมการของพาราโบลา คือ image016               

สรุป รูปแบบของสมการพาราโบลาที่สามารถใช้ในการคำนวณโค้งตั้ง

1. image017

2. image016

1. คำนวณค่าระดับบนโค้งตั้งด้วยวิธี Offset Form

 image018

1. PVC =จุดเริ่มโค้ง(point of curvature)

2. PVT =จุดสุดโค้ง(point of tangency)

3. PVI =จุดเปลี่ยนโค้ง(point of intersection)

4. L =ความยาวโค้ง(length of curve) เป็นความยาวโค้งในแนวราบ(horizontal surface)

5. l = ครึ่งหนึ่งของความยาวโค้งในแนวราบ(L/2)

6. image019=เกรด(%)ของเส้นสัมผัสด้านที่ผ่าน PC (Back tangent)

7. image020=เกรด(%)ของเส้นสัมผัสด้านที่ผ่าน PT (Forward tangent)

8. A =ผลต่างทางพีชคณิตของเกรดระหว่าง PC และPT ที่จุด PI  image021

A > 0 à โค้งตั้งหงาย (sag curve)

A < 0 à โค้งตั้งคว่ำ (summit curve)

9. e =ระยะในแนวดิ่งระหว่าง PI กับเส้นโค้งพาราโบลา

10.  image022= ผลต่างของระยะในแนวราบจากจุดเริ่มต้นโค้ง (PVC) ถึงจุด (STA) ใดๆบนเส้นโค้ง

11.  image023= ผลต่างของระยะในแนวดิ่ง (offset) จากจุด (STA) ใดๆบนเส้นโค้งถึงเส้นเกรด

  1. Parabola form,  
 image024
      2. First differential,   image026
      3. Second differential,  image027
 4. Constant,

 image028

image029

 image030          

image031                                                                                       

 image032
 5. Offset, image033
 6. Elevation on Grade,  image034
 7.  Elevation on Curve,

 image035  

image036

 8. Vertex  point,  image037

ตัวอย่าง   คำนวณค่าระดับทุกๆ ระยะ 25 เมตรบนโค้งตั้งที่ประกอบด้วยเส้นเกรด(Grade line) ที่มีความชัน +1% (upgrade, g1) และ -2% (downgrade, g2) ตัดกันที่จุด PVI  STA. 10+500 มีค่าระดับ = 100 เมตร และกำหนดให้มีความยาวของเส้นโค้งในแนวราบ(horizontal surface, L) = 200 เมตร

ขั้นตอนการดำเนินงาน

1. คำนวณค่า k โดยใช้สูตร image038และคำนวณค่า e โดยใช้สูตร image039

2. คำนวณหาค่า image040 ของแต่ละ STA บนโค้งตั้ง จากนั้นคำนวณหาค่าระดับบน Grade line หรือค่าระดับบนเส้นสัมผัสของ STA เหล่านั้น โดยใช้สูตร image041   วิธีนี้จะใช้ค่า image042 ตลอดระยะของ L สำหรับค่า image043 จะใช้ในการหาค่า e 

3. คำนวณหาค่า image044ของแต่ละ STA

4. คำนวณหาค่าของ image045 แต่ละ STA ใช้สูตร image046

5. คำนวณหาค่าระดับบนโค้งจากสูตร image035  

6. คำนวณค่า First differential ของแต่ละ STA โดยใช้สูตร image047 ซึ่งเมื่อนำไปเขียนกราฟจะเป็นเส้นตรง

7. ตรวจสอบการคำนวณโดยการคำนวณหาค่า Second differential โดยใช้สูตร image048 ซึ่งค่าดังกล่าวจะต้องเท่ากันทุกตัวและเท่ากับ image049 ถ้าการคำนวณถูกต้อง

ค่าต่างๆ ที่คำนวณได้จะถูกนำมาใส่ไว้ในตารางที่จัดเตรียมขึ้นสำหรับการวางโค้งตั้งดังแสดงในตาราง

ตารางคำนวณโค้งตั้งโดยใช้ Offset form
x(m)  y(m)  g(%) L l
PVC Sta. 10400.000 99.000 g1= 1.000 200.000 100.000  
PVI Sta. 10500.000 100.000 g2-g1= -3.000      
PVT Sta. 10600.000 98.000 g2= -2.000 k= -0.0000750  
          e= -0.750  
 image050 ∆′=  image051
 image052 Summit(Sag) point is 10466.667, 99.333

 image053 

image054

image055   image056  image057  image058  image059 1st diff. (∆′) 2nd diff. (∆″)
PVC   10+400.000 0.000 0.000 99.000 0.0000 99.000 -1.560000 -0.000150
10+425.000 25.000 0.063 99.250 -0.0469 99.203 -1.563750 -0.000150
10+450.000 50.000 0.250 99.500 -0.1875 99.313 -1.567500 -0.000150
10+462.500 62.500 0.391 99.625 -0.2930 99.332 -1.569375 -0.000150
10+475.000 75.000 0.563 99.750 -0.4219 99.328 -1.571250 -0.000150
PVI    10+500.000 100.000 1.000 100.000 -0.7500 99.250 -1.575000 -0.000150
10+525.000 125.000 1.563 100.250 -1.1719 99.078 -1.578750 -0.000150
10+537.500 137.500 1.891 100.375 -1.4180 98.957 -1.580625 -0.000150
10+550.000 150.000 2.250 100.500 -1.6875 98.813 -1.582500 -0.000150
10+575.000 175.000 3.063 100.750 -2.2969 98.453 -1.586250 -0.000150
PVT   10+600.000 200.000 4.000 101.000 -3.0000 98.000 -1.590000  
  ∆″= -0.000150
                   

 

โดยทั่วไปค่าระดับบนโค้งที่ได้จากการคำนวณด้วยวิธี offset form นั้นจะเป็นค่าที่ถูกต้องอยู่แล้ว แต่เพื่อให้การคำนวณสมบูรณ์และเชื่อถือได้ จำเป็นต้องคำนวณค่า First differential ของแต่ละ STA  และตรวจสอบการคำนวณโดยการคำนวณหาค่า Second differential หากค่า Second differential มีค่าคงที่และเท่ากันและเท่ากับ2k แสดงว่าค่าระดับบนโค้งถูกต้อง

วิธีการตรวจสอบการคำนวณในตารางข้างบนนั้น ค่า Second differential จะมีค่าเท่ากันและไม่ขึ้นกับผลต่างระหว่าง STA.  แต่ค่า First differential ไม่เป็นไปตามทฤษฏีของพาราโบลาที่ว่าค่า First differential ที่ STA. PVC จะต้องเท่ากับ image019 และที่ STA. PVT จะต้องเท่ากับ image020     

2. คำนวณค่าระดับบนโค้งตั้งด้วยวิธี Modify Offset Form

 image060

1. PVC =จุดเริ่มโค้ง(point of curvature)

2. PVT =จุดสุดโค้ง(point of tangency)

3. PVI =จุดเปลี่ยนโค้ง(point of intersection)

4. L =ความยาวโค้ง(length of curve) เป็นความยาวโค้งในแนวราบ(horizontal surface)

5. l = ครึ่งหนึ่งของความยาวโค้งในแนวราบ(L/2)

6. image019 =เกรด(%)ของเส้นสัมผัสด้านที่ผ่าน PC (Back tangent)

7. image020=เกรด(%)ของเส้นสัมผัสด้านที่ผ่าน PT (Forward tangent)

8. A =ผลต่างทางพีชคณิตของเกรดระหว่าง PC และPT ที่จุด PI  image021

A > 0 à โค้งตั้งหงาย (sag curve)

A < 0 à โค้งตั้งคว่ำ (summit curve)

9. e =ระยะในแนวดิ่งระหว่าง PI กับเส้นโค้งพาราโบลา

10. image022= ผลต่างของระยะในแนวราบจากจุดเริ่มต้นโค้ง (PVC) ถึงจุด (STA) ใดๆบนเส้นโค้ง

11. image023 = ผลต่างของระยะในแนวดิ่งจากจุดเริ่มต้นโค้ง (PVC) ถึงจุด (STA) ใดๆบนเส้นโค้ง

12. Vertex point =จุดสูงสุด(ต่ำสุด)ของโค้งมีพิกัด (h, o)

  1. Parabola form,  
 image061
       2. First differential,   image062
       3. Second differential,  image027
      4. Constant,            

 image063

image064

image065

image066

 

      5. Offset,

 image067
      6. Elevation on Grade,  image034
      7.  Elevation on Curve,  image068
      8. Vertex  point,  image069

ตัวอย่าง  คำนวณค่าระดับทุกๆ ระยะ 25 เมตรบนโค้งตั้งที่ประกอบด้วยเส้นเกรด (Grade line) ที่มีความชัน +1% (upgrade, g1) และ -2% (downgrade, g2) ตัดกันที่จุด PVI  STA. 10+500 มีค่าระดับ = 100 เมตร และกำหนดให้มีความยาวของเส้นโค้งในแนวราบ(horizontal surface, L) = 200 เมตร

ขั้นตอนการดำเนินงาน

1. คำนวณค่า k โดยใช้สูตร image070, ค่า h โดยใช้สูตร image071  และค่า o โดยใช้สูตร image072 

2. คำนวณหาค่า image040 ของแต่ละ STA. บนโค้งตั้ง จากนั้นคำนวณหาค่าระดับบน Grade line หรือค่าระดับบนเส้นสัมผัสของ STA เหล่านั้น โดยใช้สูตร image034  วิธีนี้จะใช้ค่า image042 ตลอดระยะของ L สำหรับค่า image043 จะใช้ในการหาค่า e

3. คำนวณหาค่า image045ของแต่ละ STA. ใช้สูตร image073 ค่า image045 นี้จะเป็นค่าผลต่างของระยะในแนวดิ่งจากจุดเริ่มต้นโค้ง (PVC) ถึงจุด (STA.) ใดๆบนเส้นโค้ง

4. คำนวณหาค่าระดับบนโค้งจากสูตร image074 

5. คำนวณค่า First differential ของแต่ละ STA. โดยใช้สูตร image075ซึ่งเมื่อนำไปเขียนกราฟจะเป็นเส้นตรง และค่า First differential ที่ STA. PVC จะต้องเท่ากับ image019 ที่ STA. PVT จะต้องเท่ากับ image020  และที่จุด Vertex point จะต้องเท่ากับ 0

6. ตรวจสอบการคำนวณโดยการคำนวณหาค่า Second differential โดยใช้สูตร image076 ซึ่งค่า Second differential จะมีค่าคงที่และจะต้องเท่ากันทุกตัวและเท่ากับ image077 ถ้าการคำนวณถูกต้อง

ค่าต่างๆ ที่คำนวณได้จะถูกนำมาใส่ไว้ในตารางที่จัดเตรียมขึ้นสำหรับการวางโค้งตั้งดังแสดงในตาราง

ตารางคำนวณโค้งตั้งโดยใช้ Modify Offset Form
x(m)  y(m)  g(%) L l
PVC Sta. 10400.000 99.000 g1= 1.000 200.000 100.000  
PVI Sta. 10500.000 100.000 g2-g1= -3.000      
PVT Sta. 10600.000 98.000 g2= -2.000 k = -0.000075  
h = 10466.66667
 image050 o = 99.333333  
 image078 Summit(Sag) point is (10466.667, 99.333)

 image053

image054

image055   image057  image058  image059 1st diff.    (∆′) 2nd diff. (∆″)
PVC   10+400.000 0.000 99.000 -0.33333 99.000 0.010 -0.00015
10+425.000 25.000 99.250 -0.13021 99.203 0.006 -0.00015
10+450.000 50.000 99.500 -0.02083 99.313 0.002 -0.00015
10+462.500 62.500 99.625 -0.00130 99.332 0.001 -0.00015
10+466.667 66.667 99.667 0.00000 99.333 0.000 -0.00015
10+475.000 75.000 99.750 -0.00521 99.328 -0.001 -0.00015
PVI    10+500.000 100.000 100.000 -0.08333 99.250 -0.005 -0.00015
10+525.000 125.000 100.250 -0.25521 99.078 -0.009 -0.00015
10+537.500 137.500 100.375 -0.37630 98.957 -0.011 -0.00015
10+550.000 150.000 100.500 -0.52083 98.813 -0.013 -0.00015
10+575.000 175.000 100.750 -0.88021 98.453 -0.016 -0.00015
PVT   10+600.000 200.000 101.000 -1.33333 98.000 -0.020  
  ∆″= -0.000150
                       

คำนวณค่าระดับบนโค้งตั้งด้วยวิธี Vertex Form

 image079

1. PVC =จุดเริ่มโค้ง(point of curvature)

2. PVT =จุดสุดโค้ง(point of tangency)

3. PVI =จุดเปลี่ยนโค้ง(point of intersection)

4. L =ความยาวโค้ง(length of curve) เป็นความยาวโค้งในแนวราบ(horizontal surface)

5. image019 =เกรด(%)ของเส้นสัมผัสด้านที่ผ่าน PC (Back tangent)

6. image020 =เกรด(%)ของเส้นสัมผัสด้านที่ผ่าน PT (Forward tangent)

7. A =ผลต่างทางพีชคณิตของเกรดระหว่าง PC และPT ที่จุด PI image021 

A > 0 à โค้งตั้งหงาย (sag curve)

A < 0 à โค้งตั้งคว่ำ (summit curve)

8. H =ระยะในแนวดิ่งระหว่าง PI กับเส้นโค้งพาราโบลา

9. R =รัศมีความโค้งที่จุดVertex image080

  1. Parabola form,
 image081
      2. First differential,  image082
      3. Second differential,  image083
      4. Constant,            

 image084

image085

image086

image087

image088

     5. Elevation on Grade,

image089
     6. Elevation on Curve,   image090
     7. Summit(Sag) point,  image091

ตัวอย่าง   คำนวณค่าระดับทุกๆ ระยะ 25 เมตรบนโค้งตั้งที่ประกอบด้วยเส้นเกรด (Grade line)ที่มีความชันเมื่อเข้าโค้ง (upgrade, g1) +1%  และเมื่อออกโค้ง (downgrade, g2) -2%  ตัดกันที่จุด PVI  STA. 10+500 มีค่าระดับ = 100 เมตร และกำหนดให้มีความยาวของเส้นโค้งในแนวราบ(horizontal surface, L) = 200 เมตร

ขั้นตอนการดำเนินงาน           

1. คำนวณค่าพารามิเตอร์ a โดยใช้สูตร image092, ค่า h โดยใช้สูตร image093    และค่า k โดยใช้สูตร image094

2. คำนวณหาค่า image040ของแต่ละ STA. บนโค้งตั้ง 

3. คำนวณหาค่าระดับบน Grade line หรือค่าระดับบนเส้นสัมผัสของ STA. เหล่านั้น โดยใช้สูตร image095 วิธีนี้จะใช้ค่า image019 ตลอดระยะของ L   

4. คำนวณค่าระดับ (Elevation on Curve) ของแต่ละ STA. โดยใช้สูตร image096

5. คำนวณค่า First differential ของแต่ละ STA. โดยใช้สูตร image097ซึ่งค่า∆′ที่ PVC STA.จะมีค่าเท่ากับimage019และค่า∆′ที่ PVT STA.จะมีค่าเท่ากับimage020และเมื่อนำไปเขียนกราฟจะเป็นเส้นตรง  และค่า First differential ที่ STA. PVC จะต้องเท่ากับ image019ที่ STA. PVT จะต้องเท่ากับ image020 และที่จุด Vertex point จะต้องเท่ากับ 0 

6. ตรวจสอบการคำนวณโดยการคำนวณหาค่า Second differential โดยใช้สูตร image098ซึ่งถ้าการคำนวณถูกต้อง ค่า Second differential จะมีค่าคงที่และจะต้องเท่ากันทุกตัวและเท่ากับ image099

ตารางคำนวณโค้งตั้งโดยใช้ Vertex Form  
 
x (m) y(m) g(%) L      
  PVC Sta. 10400.000 99.000 g1= 1.000 200.000 a= -0.000075  
  PVI Sta. 10500.000 100.000  g2-g1= -3.000 h= 10466.667  
  PVT Sta. 10600.000 98.000  g2= -2.000 k= 99.333  
          H= -0.750  
 image050     R= -6666.667  
  Elevation on curve image104 Summit(Sag) point is (h, k) = 10466.667,99.333  

STA.

image054

 image055  image057  image107  image108 1st diff (∆′) 2nd diff (∆″)  
 PVC 10+400.000 0.000 99.000 -0.333 99.000 0.01000 -0.000150  
10+425.000 25.000 99.250 -0.130 99.203 0.00625 -0.000150  
10+450.000 50.000 99.500 -0.021 99.313 0.00250 -0.000150  
10+462.500 62.500 99.625 -0.001 99.332 0.00062 -0.000150  
10+466.667 66.667 99.667 0.000 99.333 0.00000 -0.000150  
10+475.000 75.000 99.750 -0.005 99.328 -0.00125 -0.000150  
PVI  10+500.000 100.000 100.000 -0.083 99.250 -0.00500 -0.000150  
10+525.000 125.000 100.250 -0.255 99.078 -0.00875 -0.000150  
10+537.500 137.500 100.375 -0.376 98.957 -0.01063 -0.000150  
10+550.000 150.000 100.500 -0.521 98.813 -0.01250 -0.000150  
10+575.000 175.000 100.750 -0.880 98.453 -0.01625 -0.000150  
 PVT 10+600.000 200.000 101.000 -1.333 98.000 -0.02000    
∆″ = -0.000150  
                             

สรุปสูตรการใช้พาราโบลาในการคำนวณโค้งตั้ง

   image109
1. รู้ค่า L  image110

 image111

image112

image113

2. รู้ค่า R

 image114
3. รู้ค่าอัตราการเปลี่ยนแปลงเกรด  image115
4. รู้ระยะดิ่ง(offset)ที่จุดVPI, e  image116

ตัวอย่างวิธีการหาความยาวโค้ง

image117

 image118

 image119

 image120

 image121

 image122

image123

image124

กำหนดให้   image125

หาความยาวโค้ง(L)

1. หาผลต่างทางพีชคณิตของเกรด  image126
2. หาค่าระดับบนโค้งที่จุด D  image127
3. จากรูปข้างบน

image128     หรือ

image129

4. แทนค่า L ในข้อ 2  image130
5. หาค่ารากที่สองของสมการ

 image131

image132

6. แทนค่า x ในข้อ 3  image133

ข้อที่ 46 : เส้นเอียงลาดลง( g1 ) = 4 % ตัดกับเส้นเอียงลาดขึ้น( g2 ) = 5 % ที่ STA. 2 + 450.000 ที่มีค่าระดับเท่ากับ 216.420 เมตรและที่ STA. 2 + 350.000 ใต้ท้องสะพานมีค่าระดับ 235.540 เมตร
ต้องการวางโค้งทางดิ่งรูปพาราโบล่าแบบสมมาตรเชื่อมแนวเส้นลาดเอียงทั้งสองโดยมีช่องว่างระหว่างใต้ท้องสะพานกับถนนเท่ากับ 14 เมตร ดังรูป

image134

จงคำนวณหาค่าระดับบนโค้งที่ตำแหน่ง STA. 2 + 450

1: ค่าระดับบนโค้งหรือบนถนนมีค่ากับ 218.670 เมตร

2: ค่าระดับบนโค้งหรือบนถนนมีค่ากับ 220.920 เมตร

3: ค่าระดับบนโค้งหรือบนถนนมีค่ากับ 221.540 เมตร

4: ค่าระดับบนโค้งหรือบนถนนมีค่ากับ 225.420 เมตร

คำตอบที่ถูกต้อง : 2

ข้อความ

พัฒนาโดย

นายปรีชา สมผุด

18/5 ม.1 ต. แหลมบัว

อ. นครชัยศรี

จ. นครปฐม  73120

http://www.facebook.com/RoadWorkAndGeotechnic